Vysvetlíme, čo je geometria, jej históriu a predmet štúdia. Okrem toho vlastnosti každého typu geometrie.
čo je geometria?
Geometria (z gréčtiny geo, "Pozemok" a meter, “Meranie”) je jedným z najstarších odvetví matematika, venovaný skúmaniu tvaru jednotlivých predmetov, priestorovým vzťahom medzi nimi a vlastnostiam priestoru, ktorý ich obklopuje.
Aj keď sa táto disciplína vo svojich začiatkoch riadila, ako naznačuje jej názov meranie vo svojom najpraktickejšom zmysle, v priebehu času ľudskosť pochopil, že aj tie najzložitejšie abstrakcie a reprezentácie možno vyjadriť geometrickými pojmami.
Tak vznikli jeho početné odvetvia z rúk matematickej analýzy a iných foriem výpočtov, najmä tých, ktoré spájajú geometrickú reprezentáciu s numerickými a algebraickými matematickými výrazmi.
Geometria je základným odvetvím matematiky, na ktorom sú založené mnohé disciplíny (ako napr technické kreslenie alebo vlastné architektúra) a slúži ako doplnok k mnohým ďalším (ako napr fyzické, mechanika, astronómia, atď.). Okrem toho viedla k vzniku mnohých artefaktov, od kompasu a pantografu až po globálny systém určovania polohy (GPS).
História geometrie
Geometria má svoj pôvod prakticky v prvých ľudských civilizáciách. Starovekí Babylončania boli vynálezcami kolesa a tým aj geometrie kruhov. Z tohto dôvodu boli pravdepodobne prví, ktorí rozpoznali nekonečný potenciál geometrického štúdia, ktorý čoskoro aplikovali v astronómii.
To isté robili aj starí Egypťania, ktorí ho pestovali natoľko, že ho mohli aplikovať vo svojich majestátnych architektonických dielach, keďže v tom čase bola geometria a aritmetika vedy eminentne praktické.
Mnohí grécki historici, ako napríklad Herodotos (asi 484 – asi 425 pred Kristom), Diodorus (asi 90 pred Kristom – asi 30 pred Kristom) a Strabón (asi 63 pred Kristom – asi 24 po Kr.), uznali dôležitosť egyptského geometrického dedičstva a boli považovaní za tvorcov disciplíny. Boli to však starí Gréci, ktorí dali geometrii formálnu stránku vďaka svojmu pokročilému filozofickému modelu.
Mimoriadny význam mal matematik a geometrista Euklides (asi 325 – asi 265 pred Kr.), uznávaný ako „otec geometrie“, ktorý prostredníctvom svojej slávnej práce navrhol prvý geometrický systém na kontrolu výsledkov. Prvky, zložený okolo roku 300 n. C. v Alexandrii. Tam sú rozdiely medzi rovinou prvýkrát vyjadrené (dvojrozmerný) a priestor (trojrozmerný).
Ďalšími dôležitými príspevkami ku geometrii tej doby boli Archimedes (asi 287 – asi 212 pred Kristom) a Apollonius z Perge (asi 262 – asi 190 pred Kristom). V nasledujúcich storočiach sa však vývoj matematiky presunul na východ (konkrétne do Indie a moslimského sveta), kde sa geometria rozvíjala spolu s algebra a trigonometria, ktoré ich spája s astrológia a astronómiu.
Záujem o disciplínu sa tak na Západ vrátil až v r renesancie európskeho, v ktorom mu do štúdia pribudlo mnoho nových mien, čím vznikla projektívna geometria a najmä karteziánska geometria resp. analytická geometria, plod práce francúzskeho filozofa Reného Descartesa (1596-1650), nositeľa novej geometrickej výskumnej metódy, ktorá spôsobila revolúciu a modernizáciu tejto oblasti poznania.
Odvtedy sa moderná geometria rozvíjala rukami veľkých učencov, akými boli Nemec Carl Friedrich Gauss (1777-1855), Rus Nikolái Lobachevski (1792-1856), Maďar János Bolyai (1802-1860), medzi mnohými iní, ktorým sa podarilo odkloniť sa od klasických Euklidovych axióm a našli novú disciplínu: neeuklidovskú geometriu.
Predmet štúdia geometrie
Geometria funguje ako v dvojrozmernom, tak aj trojrozmernom.Geometria sa zaoberá vlastnosťami priestoru a najmä tvarmi a postavy ktoré ho obývajú, buď dvojrozmerné (rovina) alebo trojrozmerné (priestor), ako sú body, čiary, roviny, mnohouholníky, polyhedra, a tak ďalej. Tieto typy objektov sú chápané v zmysle idealizácií, teda mentálnych projekcií priestoru, aby sa ich závery preniesli (alebo nepreniesli) do sveta konkrétneho.
Typy geometrie
Geometria má mnoho rôznych odvetví a jej klasifikácia vo všeobecnosti zodpovedá vzťahu, ktorý vytvára, s piatimi základnými postulátmi Euklida, z ktorých len štyri boli široko preukázané od staroveku. Na druhej strane, piata musela byť upravená, aby dala vzniknúť rôznym rodinám geometrií.
Musíme teda rozlišovať medzi:
Absolútna geometria, ktorá sa riadi prvými štyrmi Euklidovými postulátmi.
Euklidovská geometria, ktorá tiež akceptuje piaty euklidovský postulát ako axiómu, vedie k dvom variantom: geometria roviny (dvojrozmerná) a geometria priestoru (trojrozmerná), podľa starogréckej klasifikácie .
Klasická geometria, v ktorej sa zostavujú výsledky euklidovských geometrií.
Neeuklidovská geometria, ktorá sa objavila v 19. storočí, je taká, ktorá spája rôzne geometrické systémy, ktoré sú ďaleko od piateho Euklidovho postulátu, akceptuje však prvé štyri alebo niektoré z nich. Medzi nimi sú:
- Eliptická alebo Riemannovská geometria, ktorá sa riadi prvými štyrmi Euklidovými postulátmi a predstavuje model konštantného a pozitívneho zakrivenia.
- Hyperbolická alebo lobachevská geometria, ktorá sa riadi iba prvými štyrmi Euklidovými postulátmi a predstavuje model konštantného a negatívneho zakrivenia.
- Sférická geometria, chápaná ako geometria dvojrozmerného povrchu gule (skôr ako priama rovina), je jednoduchší model eliptickej geometrie.
- Konečná geometria, ktorej systém sa riadi obmedzeným počtom bodov (na rozdiel od nekonečnej geometrie Euklida) a ktorej modely platia iba v konečnej rovine. Existujú dva typy konečných geometrií: afinné a projektívne.