• Čo je to číselná sústava?
• Nepozičné číselné sústavy
• Polopozičné číselné sústavy
• Pozičné číselné sústavy

Vysvetľujeme, čo je systém číslovania a študujeme vlastnosti každého typu systému na príkladoch z rôznych kultúr.

Každá číselná sústava obsahuje určitú a konečnú množinu symbolov.

Čo je to číselná sústava?

Číselný systém je súbor symbolov a pravidiel, pomocou ktorých možno vyjadriť počet objektov v čísle. nastaviť, to znamená, cez ktoré možno reprezentovať všetky platné čísla. To znamená, že každá číselná sústava obsahuje danú a konečnú množinu symbolov plus danú a konečnú množinu pravidiel, podľa ktorých ich možno kombinovať.

Systémy číslovania boli v staroveku jedným z hlavných ľudských vynálezov a každá zo starovekých civilizácií mala svoj vlastný systém, súvisiaci s jej spôsobom videnia sveta, teda s jej kultúrou.

Vo všeobecnosti možno číselné systémy rozdeliť do troch rôznych typov:

• nepolohové systémy. Sú to tie, v ktorých každý symbol zodpovedá pevnej hodnote, bez ohľadu na pozíciu, ktorú zaberá v rámci čísla (ak sa objaví prvý, na jednu stranu alebo za ním).
• Polopolohové systémy. Sú to tie, v ktorých má hodnota symbolu tendenciu byť pevne stanovená, ale môže byť upravená v konkrétnych situáciách vzhľadu (hoci sú skôr výnimkou). Chápe sa ako medzisystém medzi pozičným a nepozičným.
• Polohové alebo vážené systémy.Sú to tie, v ktorých je hodnota symbolu určená jeho vlastným vyjadrením, ako aj miestom, ktoré zaberá v rámci čísla, pričom môže mať väčšiu alebo menšiu hodnotu alebo môže vyjadrovať rôzne hodnoty v závislosti od toho, kde sa nachádza.

Je tiež možné klasifikovať systémy číslovania na základe čísla, ktoré používajú ako základ pre svoje výpočty. Tak napríklad súčasný západný systém je desiatkový (keďže jeho základ je 10), zatiaľ čo sumerský systém číslovania bol šesťdesiatkový (jeho základ bol 60).

Nepozičné číselné sústavy

Nepolohové systémy sa dali ľahko naučiť, ale vyžadovali si množstvo symbolov.

Nepozičné číselné systémy existovali ako prvé a mali najprimitívnejšie základy: prsty, uzly na lane alebo iné spôsoby zaznamenávania na koordináciu číselných súborov. Napríklad, ak spočítate na prstoch jednej ruky, potom môžete počítať na celých rukách.

V týchto systémoch majú číslice svoju vlastnú hodnotu bez ohľadu na ich umiestnenie v reťazci symbolov a na vytvorenie nových symbolov je potrebné pridať hodnoty symbolov (z tohto dôvodu sú známe aj ako aditívne systémy). Tieto systémy boli jednoduché, ľahko sa naučili, ale na vyjadrenie veľkého množstva vyžadovali množstvo symbolov, takže neboli úplne efektívne.

Príklady týchto typov systémov sú:

• Egyptský číselný systém. Vznikol okolo tretieho tisícročia pred Kristom. C., vychádzal z desatora a využíval hieroglyfy rôzne pre každý rád jednotiek: jeden pre jednotku, jeden pre desať, jeden pre sto a tak ďalej až do milióna.
• Aztécky číselný systém. Typické pre impérium Mexika malo ako základ 20 a ako symboly používali špecifické predmety: vlajka sa rovnala 20 jednotkám, pierko alebo pár vlasov sa rovnalo 400, vrece alebo vrece sa rovnalo 8 000, medzi inými.
• Grécky číselný systém.Konkrétne Iónsky, bol vynájdený a rozšírený vo východnom Stredomorí od štvrtého storočia pred Kristom. C., ktorý nahrádza už existujúci akrofonický systém. Bol to abecedný systém, ktorý používal písmená na označenie číslic, pričom písmeno sa zhodovalo s jeho hlavným miestom v abecede (A=1, B=2). Každému číslu od 1 do 9 bolo priradené písmeno, každej desiatke ďalšie konkrétne písmeno, každej sto ďalších, až kým sa nepoužilo 27 písmen: 24 z gréckej abecedy a tri špeciálne znaky.

Polopozičné číselné sústavy

Polopolohové systémy reagovali na potreby rozvinutejšej ekonomiky.

Polopozičné číselné sústavy kombinujú pojem pevnej hodnoty každého symbolu s určitými pozičnými pravidlami, takže ich možno chápať ako hybridný alebo zmiešaný systém medzi pozičným a nepozičným. Využívajú možnosti reprezentovať veľké čísla, riadiť poradie čísel a formálne postupy, ako je násobenie, takže predstavujú krok vpred v zložitosti v porovnaní s nepozičnými systémami.

Vznik semipolohových systémov možno do značnej miery chápať ako prechod k efektívnejšiemu modelu číslovania, ktorý by mohol uspokojiť komplexnejšie potreby rozvinutejšej ekonomiky, akou boli veľké impériá klasického staroveku.

Príklady tohto modelu číslovania sú:

• Systém rímskych číslic. Bol vytvorený v rímskom staroveku a prežil dodnes. V tomto systéme boli čísla zostavené pomocou určitých veľkých písmen latinskej abecedy (I = 1, V = 5, X = 10, L = 50 atď.), ktorých hodnota bola pevne stanovená a fungovala na základe sčítania a odčítania v závislosti od kde sa objaví symbol.Ak bol symbol naľavo od symbolu rovnakej alebo menšej hodnoty (ako v II = 2 alebo XI = 11), mali by sa pripočítať celkové hodnoty; zatiaľ čo ak bol symbol naľavo od symbolu s vyššou hodnotou (ako v prípade IX = 9 alebo IV = 4), museli sa odpočítať.
• Klasický čínsky číselný systém. Jeho počiatky siahajú približne do roku 1500 pred Kristom. C. a je veľmi prísnym systémom vertikálneho znázornenia čísel prostredníctvom ich vlastných symbolov, ktorý kombinuje dva rôzne systémy: jeden pre hovorové a každodenné písanie a druhý pre obchodné alebo finančné záznamy. Bol to desiatkový systém, ktorý mal deväť rôznych znakov, ktoré bolo možné umiestniť vedľa seba na sčítanie ich hodnôt, niekedy vložením špeciálneho znaku alebo striedaním umiestnenia znakov na označenie konkrétnej operácie.

Pozičné číselné sústavy

Súčasný systém číslovania pochádza z hinduisticko-arabského systému.

Pozičné číselné systémy sú najkomplexnejšie a najúčinnejšie z troch typov číselných systémov, ktoré existujú. Kombinácia správnej hodnoty symbolov a hodnoty priradenej ich pozíciou im umožňuje zostaviť veľmi vysoké figúrky s veľmi malým počtom znakov, pričom pridávajú a/alebo násobia hodnotu každého z nich, čo z nich robí všestrannejšie a modernejšie systémy.

Vo všeobecnosti pozičné systémy používajú pevnú množinu symbolov a ich kombináciou sa ostatné možné obrazce vytvárajú donekonečna bez potreby vytvárať nové znaky, ale skôr inauguráciou nových stĺpcov symbolov. To samozrejme znamená, že chyba v reťazci tiež zmení celkovú hodnotu čísla.

Prvé príklady systémov tohto typu vznikli v rámci veľkých impérií alebo najnáročnejších starovekých kultúr v kultúrnych a obchodných záležitostiach, ako bola Babylonská ríša druhého tisícročia pred Kristom. C. Príklady tohto typu systému číslovania sú:

• Moderný desiatkový systém.Len s číslicami od 0 do 9 vám umožňuje zostaviť ľubovoľné možné číslo, pridávať stĺpce, ktorých hodnota sa pridáva pri pohybe doprava, pričom základ tvorí desiatka. Pridaním symbolov k 1 teda môžeme zostaviť 10, 195, 1958 alebo 19589. Je dôležité objasniť, že použité symboly pochádzajú z hinduisticko-arabských číslic.
• Hinduisticko-arabský číselný systém. Vymysleli ho starí mudrci z Indie a neskôr ho zdedili moslimskí Arabi, dostal sa na Západ cez Al-Andalus a nakoniec nahradil rímske číslice tradičné. V tomto systéme, podobne ako v modernom desiatkovom systéme, sú jednotky od 0 do 9 reprezentované špecifickými glyfmi, ktoré reprezentovali hodnotu každého z nich pomocou čiar a uhlov. Systém fungovania tohto systému je v podstate rovnaký ako moderný západný desiatkový systém.
• Mayský číselný systém. Bol vytvorený na meranie času namiesto na vykonávanie matematických transakcií a jeho základ bol vigezimálny a jeho symboly zodpovedajú kalendáru tejto predkolumbovskej civilizácie. Postavy zoskupené po 20 x 20 sú znázornené základnými znakmi (pruhy, bodky a slimáky alebo ulity); a ak chcete prejsť na ďalšie skóre, bod sa pridá na ďalšej úrovni písania. Okrem toho, Mayovia boli medzi prvými, ktorí použili číslo nula.