trojuholník

Matematika

2022

Vysvetlíme všetko o trojuholníku, jeho vlastnostiach, prvkoch a klasifikácii. Tiež ako sa počíta jeho plocha a obvod.

Trojuholníky sú ploché, základné geometrické útvary.

čo je trojuholník?

Trojuholníky alebo trigony sú geometrické obrazce ploché, základné, ktoré majú tri strany vo vzájomnom kontakte v spoločných bodoch nazývaných vrcholy. Jeho názov pochádza zo skutočnosti, že má tri vnútorné alebo vnútorné uhly, tvorené každou dvojicou čiar, ktoré sú v kontakte v rovnakom vrchole.

Tieto geometrické útvary sú pomenované a klasifikované podľa tvaru ich strán a typu uhla, ktorý zvierajú. Jeho strany sú však vždy tri a súčet všetkých jeho uhlov bude vždy dávať 180°.

Trojuholníky boli študované ľudskosť od nepamäti, keďže sú spájané s božským, s tajomstvami a mágiou. Preto je možné ich nájsť v mnohých okultných symboloch (murivo, čarodejníctvo, kabala atď.) a v tradíciách náboženský. Jeho pridružené číslo, tri, numerologicky odkazuje na tajomstvo počatia a života samotného.

V histórii trojuholníka grécky starovek si zaslúži popredné miesto. Grék Pytagoras (asi 569 - asi 475 pred Kristom) navrhol svoju slávnu vetu o pravouhlých trojuholníkoch, ktorá hovorí, že druhá mocnina prepony sa rovná súčtu druhej mocniny nôh.

Vlastnosti trojuholníka

Najzrejmejšou vlastnosťou trojuholníkov sú ich tri strany, tri vrcholy a tri uhly, ktoré môžu byť navzájom podobné alebo úplne odlišné. Trojuholníky sú najjednoduchšie mnohouholníky, aké existujú a chýba im uhlopriečka, pretože s akýmikoľvek tromi nezarovnanými bodmi je možné vytvoriť trojuholník.

V skutočnosti môže byť akýkoľvek iný polygón rozdelený na usporiadanú množinu trojuholníkov, čo je známe ako triangulácia, takže štúdium trojuholníkov je základom geometrie.

Tiež trojuholníky sú vždy konvexné, nikdy nie konkávne, pretože ich uhly nemôžu nikdy prekročiť 180 ° (alebo π radiánov).

Prvky trojuholníka

Trojuholníky sa skladajú z troch strán, ktoré sa stretávajú v troch vrcholoch.

Trojuholníky sa skladajú z niekoľkých prvkov, z ktorých mnohé sme už spomenuli:

  • Vertices. Toto sú body, ktoré definujú trojuholník spojením dvoch z nich priamou čiarou. Ak teda máme body A, B a C, ich spojením s priamkami AB, BC a CA dostaneme trojuholník. Tiež vrcholy sú na opačnej strane vnútorných uhlov mnohouholníka.
  • Strany. Toto je názov každej z čiar, ktoré spájajú vrcholy trojuholníka a ohraničujú obrazec (zvnútra zvonku).
  • Uhly. Každé dve strany trojuholníka tvoria vo svojom spoločnom vrchole nejaký typ uhla, ktorý sa nazýva vnútorný uhol, pretože smeruje do vnútra mnohouholníka. Tieto uhly sú rovnako ako strany a vrcholy vždy tri.

Typy trojuholníkov

Trojuholníky možno klasifikovať podľa ich uhlov alebo podľa ich strán.

Existujú dve hlavné klasifikácie trojuholníkov:

  • Podľa jeho strán. V závislosti od vzťahu medzi jeho tromi rôznymi stranami môže byť trojuholník:
    • Rovnostranný. Keď majú všetky tri strany presne to isté dĺžka.
    • Rovnoramenné. Keď dve jeho strany majú rovnakú dĺžku a tretia inú.
    • Scalene. Keď jeho tri strany majú od seba rôzne dĺžky.
  • Podľa ich uhlov. V závislosti od otvorenia jeho uhlov môžeme hovoriť o trojuholníkoch:
    • Obdĺžniky. Predstavujú pravý uhol (90 °) tvorený dvoma podobnými stranami (nohami) a protiľahlými k tretej (hypotenza).
    • Šikmé uhly Tie, ktoré nepredstavujú žiadny pravý uhol, a to zase môže byť:
      • Tupé uhly. Keď je niektorý z jeho vnútorných uhlov tupý (väčší ako 90°) a ostatné dva ostré (menej ako 90°).
      • Ostré uhly. Keď sú jeho tri vnútorné uhly ostré (menej ako 90°).

Tieto dve klasifikácie je možné kombinovať, čo nám umožňuje hovoriť o rovnoramenných pravouhlých trojuholníkoch, skalnatých ostrých trojuholníkoch atď.

Obvod trojuholníka

Obvod trojuholníka sa vypočíta sčítaním jeho strán.

Obvod trojuholníka je súčtom dĺžok jeho strán a zvyčajne sa označuje písmenom p alebo s 2s. Rovnica na určenie obvodu daného trojuholníka ABC je:

p = AB + BC + CA.

Napríklad: trojuholník, ktorého strany sú 5 cm, 5 cm a 10 cm, bude mať obvod 20 cm.

Oblasť trojuholníka

Na výpočet plochy trojuholníka je potrebné poznať jeho výšku.

Plocha trojuholníka (a) je vnútorný priestor vymedzený jeho tromi stranami. Dá sa vypočítať, ak poznáme jeho základňu (b) a výšku (h), podľa vzorca:

a = (b.h) ​​/ 2.

Plocha sa meria v jednotkách na druhú (cm2, m2, km2 atď.)

Základňa trojuholníka je strana, na ktorej postava „spočíva“, zvyčajne spodok. Namiesto toho, aby sme našli výšku trojuholníka, musíme nakresliť čiaru z vrcholu oproti základni, teda horného uhla. Táto čiara by mala tvoriť so základňou pravý uhol.

Ak teda máme napríklad rovnoramenný trojuholník so stranami: 11 cm, 11 cm a 7,5 cm, môžeme vypočítať jeho výšku (7 cm) a potom použiť vzorec: a = (11 cm x 7 cm) / 2, čím získame výsledok 38,5 cm2.

Iné geometrické útvary

Štvorec, obdĺžnik a kruh sú ďalšie jednoduché geometrické útvary.

Ďalšie dôležité dvojrozmerné geometrické útvary sú:

  • Námestie. Mnohouholníky so štyrmi dokonale rovnakými stranami, dvojrozmerní predkovia kocky.
  • Obdĺžnik. Ak vezmeme štvorec a predĺžime dve jeho protiľahlé strany, dostaneme obrazec zložený zo štyroch čiar: dvoch rovnakých a dvoch rôznych (ale navzájom rovnakých). To je obdĺžnik.
  • Kruh. Všetci poznáme kruh, jednu z najjednoduchších foriem geometrie, ktorá pozostáva zo súvislej zakrivenej čiary, ktorá sa vracia do východiskového bodu a sleduje 360° obvodu.
!-- GDPR -->